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Méthodes Numériques
22/10/2017

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  • Vous pouvez télécharger les scripts Python des algorithmes numériques du programme

      Dichotomie

    1. Avec la méthode de dichotomie, la différence de comportement des algorithmes entre le monde des nombres réels et le monde des flottants apparaît clairement. La deuxième question de l'exercice 6-2 met en évidence les limites de l'algorithme naïf avec une fonction qui fait boucler le programme.
      Exercice 6-2, question 1(dichotomie) et pour la question 2, passer par la case Téléchargements en accès reservé

    2. L'algorithme de recherche du minimum d'une fonction convexe proposé dans l'exercice 6-3:
      Exercice 6-3: minimum d'une fonction convexe
      A ce propos, il y a une erreur à corriger dans l'énoncé: on lira
      On admettra que si une fonction est strictement convexe et continue sur \(I=[a,b],\) elle y admet un minimum atteint en un seul point que l'on notera \(\mu...\)
      Ce qui est démontré dans l'exercice 4 du document
      Méthodes de Newton Gauss et moindres carrés

    3. Suites récurrentes et méthode de Newton

    4. La programmation et des expérimentations numériques des méthodes de point fixe et de la méthode de Newton sont proposées dans les paragraphes 6.2.1, et 6.2.2 du livre. Les démonstrations des résultats mathématiques sont détaillées sous forme de TD de maths accessible en première année dans
      Suites récurrentes et méthode de Newton .
      Les scripts de l'exercice 6-5 (bassin d'attraction pour la méthode de Newton) sont proposés en accès réservé Téléchargements en accès reservé

    5. Le paragraphe 6.2.5 traite de la méthode de Newton en dimensions supérieures: c'est là le domaine des applications réelles. Ce paragraphe est, à cause des notions mathématiques sous-jacentes, à aborder de préférence comme thème de deuxième année. Le polycopié Méthodes de Newton Gauss et moindres carrés donne des compléments théoriques pour les élèves motivés par un TIPE par exemple.
      Pour télécharger les scripts du cours et des exercices qui ont, entre autres, permi de tracer la figure de la colonne de droite (ce sont des scripts Scilab des pages 235-236 testés avec \(f(z)=z^3-1\) et des Exercices 6-6 et 6-7: tracé de l'ensemble de Julia-Mandelbrot), vous passerez encore par la case Téléchargements en accès reservé

    6. Les équations différentielles

    7. Le paragraphe 6.3 traite des équations différentielles avec la méthode d'Euler. Une première approche très élémentaire permet de traiter numériquement les équations de la radioactivité, le modèle de croissance logistique et la chute d'un parachutiste et de comparer aux résultats obtenus formellement.
      A ce propos, à la fin de l'exercice page 249 (chute d'un parachutiste), on lira, pour la solution formelle: \[v \left( t \right) = - \sqrt{\dfrac{gm}{\alpha}} \tanh \left( \sqrt{\dfrac {\alpha\,g }{m}}\,\,t - \rm{arctanh}\left(\sqrt{\dfrac{\alpha}{g\,m}}v_0\right) \right) \] Le h de arctanh manque dans le livre: \[v \left( t \right) = - \sqrt{\dfrac{gm}{\alpha}} \tanh \left( \sqrt{\dfrac {\alpha\,g }{m}}\,\,t - \rm{arctan *}\left(\sqrt{\dfrac{\alpha}{g\,m}}v_0\right) \right) \]


    8. Ces scripts sont accessibles aux possesseurs du livre à la page Téléchargements en accès reservé.

    9. Dans le 6.3.3, on traite des systèmes différentiels (auxquels se ramènent en particulier les équations scalaires d'ordre 2 comme l'équation du pendule). Même si une relecture s'impose en deuxième année (après le cours de maths sur la question), les élèves de première année seront motivés par les applications: équation du pendule, systèmes proies-prédateur avec le modèle de Lotka-Volterra: dans les deux cas, Téléchargements en accès reservé

    10. Systèmes linéaires

    11. Le paragraphe 6.4 aborde l'étude des systèmes linéaires avec la méthode de Gauss. Les programmes sont longs et les versions Scilab et Python vous sont proposées au téchargement
      Téléchargements en accès reservé



    Ce chapitre aborde les méthodes numériques. Les algorithmes du programme y sont détaillés:
  • Méthode de dichotomie pour l'approximation de racines d'une fonction continue.
  • Systèmes dynamiques et méthode de Newton (variable réelle).
  • Méthode de Newton pour une fonction de plusieurs variables.

    ensemble de julia

  • Méthode d'Euler pour la résolution approchée des équations différentielles.
  • Méthode d'Euler pour la résolution approchée de systèmes différentiels (abordés en deuxième année dans les cours de maths).

    trajectoires Lotka-Volterra

  • Méthode de Gauss pour la résolution des systèmes linéaires